(1)、证明：连接CO,则：CO⊥AB∠BCO=∠A=45°CO=AO=1/2AB

　　在△AOP和△COQ中

　　AP=CQ

　　∠A=∠BCO

　　AO=CO

　　∴△AOP≌△COQ(SAS)

　　∴OP=OQ

　　∠AOP=∠COQ

　　∴∠POQ=∠COQ+∠COP

　　=∠AOP+∠COP

　　=∠AOC

　　=90°

　　∴△POQ是等腰直角三角形

　　(2)、S=1/2CQ×CP

　　=1/2×t(4-t)

　　=1/2t²+2t

　　=-1/2(t-2)²+2

　　当t=2时,S取得最大值,最大值S=2

　　(3)、四边形PEQC是矩形

　　证明：连接OD

　　∵点D是PQ中点

　　∴CD=PD=DQ=1/2PQ

　　OD=PD=DQ=1/2PQ

　　∴CD=OD

　　∠DCO=∠DOC

　　∠CEO+∠DCO=90°

　　∠DOE+∠DOC=90°

　　∴∠CEO=∠DOE

　　∴DE=DO

　　∴DE=CD

　　∵PD=DQ

　　∴四边形PEQC是平行四边形

　　又∠ACB=90°

　　∴四边形PEQC是矩形

　　(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上,其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段

　　点D运动的路径长=1/2AB=2√2

　　满意请采纳.