已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F

　　求证：CF⊥AB

　　证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此三角形三条高交于一点

　　法二：三条高AD、BE、CF,其中BE、AD交于H1,CF、AD交于H2

　　易证△AEH1∽△BEC,△AFH2∽△CBF

　　有AH1/BC=AE/BE,AH2/BC=AF/CF

　　又易证△ABE∽△ACF

　　有AE/BE=AF/CF

　　这样就有

　　AH1/BC=AH2/BC

　　AH1=AH2

　　因此H1,H2重合,AD、BE、CF三线共点

　　法一能不能不用圆作，用其他的？

　　证明三角形三条角平分线或者三条边的垂直平分线交于一点都很轻松，那么在我证明了三角形三条中线交于一点后，就开始谋求证明三高交于一点。然而我开始都是在三角形内部做辅助线，很难突破。后来在三角形外作平行线，就成功了。已知：△ABC中，BE、CF分别是边AC、AB上的高，交于O，连接并延长AO，交BC于D求证：AD⊥BC证明如图所示，过A做BC的平行线HI，过B做AC的平行线GI，过C做AB的平行线GH连接OG、OH、OI线段∵AB∥CG，AC∥BG，AB∥CH，BC∥AH，AC∥BI，BC∥AI（由辅助线做法）∴四边形BACG、四边形ABCH、四边形BCAI均为平行四边形（平行四边形定义）∴AB=CG，AB=CH，AC=BG，AC=BI（平行四边形对边相等）∴CG=CH，BG=BI（等量代换）∴B为GI中点，C为GH中点（中点的定义）∵BE⊥AC，CF⊥AB（三角形的高）又∵AC∥GI，AB∥GH（由辅助线做法）∴BE⊥GI，CF⊥GH（一直线垂直于另一直线，其平行线也垂直于该直线）∴BE为GI的垂直平分线，CF为GH的垂直平分线（垂直平分线定义）又∵O在BE上，O在CF上（交点）∴OG=OI，OG=OH（垂直平分线上的点到线段端点距离相等）∴OH=OI（等量代换）∴△OHI为等腰三角形（等腰三角形定义）∵四边形ABCH、四边形BCAI均为平行四边形（已证）∴BC=AI，BC=AH（平行四边形对边相等）∴AI=AH（等量代换）∴A为HI中点（中点的定义）又∵△OHI为等腰三角形（已证）∴OA⊥HI（等腰三角形底边上中线垂直于底边）又∵HI∥BC（由辅助线做法）∴OA⊥BC（一直线垂直于另一直线，其平行线也垂直于该直线）也即AD⊥BC，证明完毕