应该不存在.

　　先取一个平面,设其截面三角形为△ABC.

　　过BC边取另一个平面,截面三角形为△BCD.

　　平面ABD的截面三角形就是△ABD,平面ACD的截面三角形△ACD.

　　取平面α过AB,AC,DC,DB的中点E,F,G,H(可证明EFGH为平行四边形).

　　这四点在平面α的截面三角形的边界上,必定有某两点落在同一边.

　　设E,F在同一边,由直线EF在平面ABC上,而平面ABC与几何体的截面是△ABC,

　　知E,F是平面α的截面三角形的顶点,EF是截面三角形的一条边.

　　但是EFGH为平行四边形,易见G,H不可能落在以EF为一条边的三角形的边上,矛盾.

　　证明有点抽象,但其实就是以四面体为范本.

　　取中点只是为了更容易的导出矛盾,换成一个平面与那四条棱的交点也行.

　　第四句，平面ABD的截面三角形不一定就是三角形ABD

　　这个是完全可以说明的,比如这样:线段AB是平面ABC的截面的一条边,一定在几何体的边界上.所以AB也在平面ABD的截面三角形的边界上,即有截面三角形的一条边落在直线AB上.考虑直线AB与几何体的公共点集,由直线AB包含于平面ABC,而平面ABC的截面为△ABC,所以公共点集就是线段AB.于是AB就是截面三角形的一条边.同理BD也是截面三角形的一条边.所以截面三角形为△ABD.这样是不是没问题了?