如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动-查字典问答网

来自苏群的问题

　　如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边

　　如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．

　　（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；

　　（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

1回答

2020-05-19 00:46

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刘跃虎

　　（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，

　　∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，

　　∵BD=CD，

　　∴AD⊥BC

　　∵∠ADE=60°，

　　∴∠EDC=30°，

　　∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，

　　∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°，

　　∴∠EDC=∠DEC，

　　∴EC=CD=DB，

　　∴△ABD≌△ACE．

　　∴AD=AE，且∠ADE=60°，

　　∴△ADE是等边三角形；

　　（2）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，

　　∵∠ACB=60°，

　　∴△DCF是等边三角形，

　　∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，

　　∴∠ADF=∠EDC，

　　∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，

　　∴∠DAF=∠DEC，

　　∴△ADF≌△EDC（AAS），

　　∴AD=ED，

　　又∵∠ADE=60°，

　　∴△ADE是等边三角形．

2020-05-19 00:46:46