等于正三角形边长3倍

　　我说的是它的面积刚好等于这个正三角形边长的 3 倍。当然得先求出边长，经计算等于 4 倍的根号3。所以面积就等于12√3（平方单位）

　　一、这个正三角形可以这样作出：（如图二）

　　①作出角，使∠EOF=∠EOD=120°

　　②过O点在作出的三条射线上分别截取OD=1，OE=2，OF=3

　　③分别过D、E、F三点作OD、OE、OF的垂线，使它们相交得到BC、AB、AC

　　则三角形ABC就是符合条件的正三角形。

　　二、这三条垂线长的和刚好等于一边上的高

　　证明：（如图三）过O点作BC的平行线MN，则△AMN仍然是正三角形

　　在△AMN中，过N点作AM的垂线NG，过O点作OR⊥NG

　　则四边形OEGR是矩形（有三个直角的四边形是矩形）

　　∴GR=OE

　　在△ONF和△NOR中

　　∵∠ONF=∠AMN ∠NOR=AMN（两直线平行，同位角相等）

　　∴∠ONF=∠NOR

　　又ON=ON（公共边）

　　∴△ONF≌△NOR

　　∴NR=OF

　　∴NG=NR＋GR

　　=OF＋OE

　　而AT=NG

　　∴AH=AT＋TH

　　=NG＋TH

　　=OF＋OE＋OD

　　所以：正三角形中内一点到各边的距离和等于一边上的高

　　三、计算其面积

　　∵S△ABC=1/2×BC×OD＋1/2×AB×OE＋1/2×AC×OF

　　而BC=AB=AC

　　∴S△ABC=1/2×BC(OD＋OE＋OF)

　　=1/2×BC(1＋2＋3)

　　=3×BC

　　即这个三角形的面积等于边长的确3倍

　　而正三角形的边和高的关系是：边长是高的2/3√3（三分之二的根号三）

　　∴S△ABC=3×BC

　　=3×2/3√3×6

　　=12√3

　　故所求的三角形的面积等于12根号3（平方单位）