1.已知抛物线C:y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B-查字典问答网
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来自李志蜀的问题

  1.已知抛物线C:y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N(1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行(2)是否存在实数k使向量NA·向量NB=0,如存在,求出k;若不存在,说

  1.已知抛物线C:y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N

  (1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行

  (2)是否存在实数k使向量NA·向量NB=0,如存在,求出k;若不存在,说明理由.

1回答
2020-05-18 10:28
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马树元

  (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>x2(点A在点B右侧)

  将y=kx+2代入y=2x²,整理得

  2x²-kx-2=0

  ∴x1+x2=k/2,x1x2=-1.

  ∵M是线段AB的中点,M的横坐标为(x1+x2)/2=k/4,而MN⊥x轴

  ∴N的横坐标为k/4

  对函数y=2x²求导,得y'=4x

  所以,抛物线在N点出的切线斜率k'=4×k/4=k

  故抛物线C在N点处的切线斜率与AB的斜率相等

  即抛物线C在点N处的切线于AB平行.

  (2)假设存在这样的k

  设N(x0,y0),由第一问得x0=k/4,y0=2x0²=k²/8.

  ∵向量NA·向量NB=(x1-x0,y1-y0)·(x2-x0,y2-y0)=0

  ∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.①

  又y1y2=2x1²·2x2²=4(x1x2)²=4,y1+y2=2x1²+2x2²=2(x1+x2)²-4x1x2=(k²/2)+4

  所以,可将①式整理为

  k^4+12k²-64=0

  解得k²=4或k²=-16(舍)

  故存在k=±2满足题意.

2020-05-18 10:32:39

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