【已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命-查字典问答网

来自曹丽萍的问题

　　【已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命题正确的是A与B等价；2.A与B相似；3.若A,B为实对称矩阵,则A与B合同；4.行列式|A-2E|=|2E-A|成立的有：A.1个B.2个C.3个D.4个这是陈文灯单选】

　　已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命题正确的是

　　A与B等价；2.A与B相似；3.若A,B为实对称矩阵,则A与B合同；4.行列式|A-2E|=|2E-A|

　　成立的有：A.1个 B.2个 C.3个D.4个

　　这是陈文灯单选题解题技巧上的一道题,选C,3和4肯定对,那么1和2中哪个正确?

3回答

2020-05-18 13:08

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庞全

　　存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价,充要条件是A与B是同型矩阵且R(A)=R(B).

　　相同的特征值1,2,2,所以A、B的秩都是3,A、B都是3阶矩阵且秩相同,

　　所以A、B等价.

　　特征值相同,不一定相似,反之成立.

　　反例：令A不能相似于对角矩阵,那么A和其特征值构成的矩阵就不相似；

　　又可以举上三角形矩阵为例,上三角形矩阵的秩是主对角上的元素…….

2020-05-18 13:09:56

曹丽萍

　　因为2是二重特征值，所以A，B的不一定相似于对角矩阵，这种情况下怎么确定A，B的秩为3？

2020-05-18 13:10:54

庞全

　　秩为多少，取决于，特征值非0的个数。如E的特征值n个1，故秩为n。

2020-05-18 13:15:50