【已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命-查字典问答网
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  【已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命题正确的是A与B等价;2.A与B相似;3.若A,B为实对称矩阵,则A与B合同;4.行列式|A-2E|=|2E-A|成立的有:A.1个B.2个C.3个D.4个这是陈文灯单选】

  已知A,B为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2,则下列命题正确的是

  A与B等价;2.A与B相似;3.若A,B为实对称矩阵,则A与B合同;4.行列式|A-2E|=|2E-A|

  成立的有:A.1个 B.2个 C.3个D.4个

  这是陈文灯单选题解题技巧上的一道题,选C,3和4肯定对,那么1和2中哪个正确?

3回答
2020-05-18 13:08
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庞全

  存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价,充要条件是A与B是同型矩阵且R(A)=R(B).

  相同的特征值1,2,2,所以A、B的秩都是3,A、B都是3阶矩阵且秩相同,

  所以A、B等价.

  特征值相同,不一定相似,反之成立.

  反例:令A不能相似于对角矩阵,那么A和其特征值构成的矩阵就不相似;

  又可以举上三角形矩阵为例,上三角形矩阵的秩是主对角上的元素…….

2020-05-18 13:09:56
曹丽萍

  因为2是二重特征值,所以A,B的不一定相似于对角矩阵,这种情况下怎么确定A,B的秩为3?

2020-05-18 13:10:54
庞全

  秩为多少,取决于,特征值非0的个数。如E的特征值n个1,故秩为n。

2020-05-18 13:15:50

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