A的特征值λ1,λ2,λ3……λn是A有特征多项式f(λ)=|A-λE|的根.

　　即有f(λ)=|A-λE|=(λ1-λ)(λ2-λ).(λn-λ)=(-λ)^n+(λ1+λ2+...+λn)(-λ)^(n-1)+...+λ1λ2...λn

　　行列式|A-λE|中出现λ^(n-1)的项只有对角线上n个元素的乘积,即

　　在(a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ)中.

　　且(-λ)^(n-1)的系数就是a11+a22+...+ann

　　所以有①λ1+λ2+λ3……+λn=a11+a22+ann.

　　②的证明也是一样.λ=0时就是多项式的常数项.