闭合导线的坐标计算（近似平差）

　　（湖南高速铁路职业技术学院）

　　一、角度闭合差的计算及调整

　　1.角度闭合差：

　　由几何关系,多边行的内角和为：∑β理=（n-2）×180°

　　设实测的多边形的内角和为∑β测

　　由于观测误差的存在,实测值与理论值称之为角度闭合差,以fβ表示,那么：

　　fβ=∑β测—∑β理

　　《铁路测量技术规则》规定：fβ限=30

　　式中,n—多边形的内角个数

　　若fβ>fβ限时,超限,数据不符合要求,分析原因后返工；

　　当fβ≤fβ限时,符合规范要求,可进行闭合差调整.

　　2.调整的原则：

　　由于角度观测是等精度观测,故角度闭合差调整采取平均分配的原则,

　　将fβ反符号平均分配到各个观测值中.即：

　　Vβ=―fβ/n

　　式中Vβ——观测角度的改正数

　　n——角度的个数

　　计算时,改正数取至秒位,不能整除时,将余数凑整,分配到短边夹角上,

　　为保证∑β测=∑β理的要求,∑Vβ=―fβ

　　二、推算方位角

　　对于观测角为右角的闭合导线

　　α前=α后+180°-β右

　　对于观测角为右角的闭合导线

　　α前=α后-180°+β左

　　计算出来的方位角大于360°时要减掉360°,为负值时要加上360°.

　　【例1】有一个五边行的闭合导线,水平及数据如书中图7-8所示,试计算角度闭

　　合差及其调整值,以及根据起始边推算其他边的方位角.

　　【解】1.计算内角和：∑β测=540°00′36″

　　2.计算角度闭合差：fβ=∑β测—∑β理=540°00′36″-（5-2）×180°

　　=36″

　　3.平均分配角度闭合差：Vβ=―fβ/n=36/5=7″余1″

　　所余1″分配在短边夹角上,则∑Vβ=4×（-7）-8=-36=-fβ

　　4.推算各边方位角

　　α23=α12+180°-β2=65°17′36″+180°-135°48′59″=109°28′37″

　　α34=α23+180°-β3=109°28′37″+180°-84°10′29″=205°18′07″

　　α45=α34+180°-β4=205°18′07″+180°-108°26′29″=276°51′39″

　　α51=α45+180°-β5=276°51′39″+180°-121°27′59″=335°23′40″

　　α12=α51+180°-β1=335°23′40″+180°-90°06′04″=65°17′36″

　　计算无误

　　三、坐标计算

　　1.坐标增量计算

　　Δx12=D12×cosα12

　　Δy12=D12×sinα12

　　若1点的坐标已知,则2点的坐标为：

　　x2=x1+Δx12

　　y2=y1+Δy12

　　坐标正算：根据已知点坐标、已知边长以及已知方位角计算待定点坐标的方法

　　坐标反算：根据两已知点的坐标（x1,y1）（x2,y2）计算坐标方位角的计算方法.

　　α12=arctg（Δy12/Δx12）

　　D12=Δx²12+Δy²12

　　2.坐标增量闭合差的计算及调整

　　坐标增量闭合差：由于误差的存在,观测值计算坐标增量代数和理论值的差值.

　　任意多边形,其纵横坐标代数和在理论上应等于零,即

　　∑Δx理=0

　　∑Δy理=0

　　fx=∑Δx计-∑Δx理=∑Δx计

　　fy=∑Δy计-∑Δy理=∑Δy计

　　导线全长闭合差：f=fx²+fy²

　　导线越长,f值将相应增大,绝对量不能作为衡量导线精度的标准,通常用导线

　　全长相对误差K来表示：K=f/∑D=1/∑D/f=1/N

　　式中,∑D——导线边全长,一般取K≤1/2000.

　　增量闭合差的调整原则：以相反的符号与边长成正比例分配到各边增量中

　　Vxi=―（fx/∑D）×Di

　　Vyi=―（fy/∑D）×Di

　　改正数计算至增量计算时的最后一位（厘米或毫米）,经过改正后的增量总和应该和

　　理论值相等.

　　3.导线点坐标推算

　　由起始点的坐标,用调整后的坐标增量值依次推算各点的坐标.为了检查推算过

　　程是否出现误差,应由起点推算到终点后再继续推算起点坐标,应与已知的坐标相等.