【一个n阶行列式,主对角线上的元素都是x主对角线以上的元素都是a,主对角线以下的元素都是-a,求次行列式.xaaa.a-axaa.a-a-axa.a.-a-a-a-a.x】
一个n阶行列式,主对角线上的元素都是x主对角线以上的元素都是a,主对角线以下的元素都是-a,求次行列式.
xaaa.a
-axaa.a
-a-axa.a
.
-a-a-a-a.x
第1行乘以(-1),依次加到第2、3、……、n行,得
xaaa.aa
-a-xx-a00.00
-a-x-2ax-a0.00
-a-x-2a-2ax-a.00
.
-a-x-2a-2a-2a.x-a0
-a-x-2a-2a-2a.-2ax-a
再用第2行乘以(-1),依次加到第3、4、……、n行,得
xaaa.aa
-a-xx-a00.00
0-a-xx-a0.00
0-a-x-2ax-a.00
.
0-a-x-2a-2a.x-a0
0-a-x-2a-2a.-2ax-a
再用第3行乘以(-1),依次加到第4、5、……、n行,得
xaaa.aa
-a-xx-a00.00
0-a-xx-a0.00
00-a-xx-a.00
.
00-a-x-2a.x-a0
00-a-x-2a.-2ax-a
继续这样变换,直至将第n-1行乘以(-1)加到第n行,最后得到
xaaa.aa
-a-xx-a00.00
0-a-xx-a0.00
00-a-xx-a.00
.
0000.x-a0
0000.a-xx-a
按第一行展开,得
原行列式=x*[(x-a)^(n-1)]
-a*(-a-x)*[(x-a)^(n-2)]
+a*[(-a-x)^2]*[(x-a)^(n-3)]
-a*[(-a-x)^3]*[(x-a)^(n-4)]
+.
+(-1)^(n-1)*a*[(-a-x)^(n-1)]
＝x*[(x-a)^(n-1)]
+a*(x+a)*[(x-a)^(n-2)]
+a*[(x+a)^2]*[(x-a)^(n-3)]
+a*[(x+a)^3]*[(x-a)^(n-4)]
+.
+a*[(x+a)^(n-1)]
"+(-1)^(n-1)*a*[(-a-x)^(n-1)]”^(n-1)好像有问题,答案也不对，我记得答案好像是1/2[(x-a)^n+(x+a)^n],求过程，谢谢。
详见插图
图片太小了，我点击图片看了大图，还是看不清。