楼上证得不对,这道题要用数学归纳法证明:

　　证明过程中要用到以下内容:

　　第一:n阶矩阵An正定,An-1为n-1阶顺序主子式正定.

　　第二,若A正定,则A逆正定.

　　我们看An的顺序主子式A1,A2,...An-1,An(就是对角线上的块儿,详情百度百科).

　　数学归纳对n归纳

　　A1=a11,满足条件

　　当为n-1时,若An-10;

　　由于An-1的逆是正定的,说明b'An-1的逆b>=0.综上所以,0=0,令x=[y,0],则x'Ax=y'An-1y>=0,按照正定定义An-1正定.

　　第二个看特征值A正定,特征值皆正,A逆的特征值是A特征值的倒数,也皆正,则A逆正定(正定充要条件是特征值皆正)

　　P是这样一个分块矩阵En-1,-An-1的逆b;0,1第一块是n-1阶单位阵,第三块是0向量,第四块是数字1,第二块是,(-An-1的逆)b,其中b是上边提到的列向量,An-1的逆是上边的A的第一块An-1的逆矩阵.然后P'AP正好合同于A,且形式简单.这种做法很常见的比如|En-AB|=|Em-BA|的证明.就是用相似变换做的,你这道题是武汉大学今年的考研题,据我所知只有我这一种证法.建议看看自己线性代数教材上的例题~就明白这种常见的证明方法了