三角形的内心定义

　　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,

　　内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）.

　　内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.

　　注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径）,内心定理其实极易证.

　　若三边分别为l1,l2,l3,周长为p,则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p).

　　直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.

　　双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点.

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　　三角形内心的性质

　　设△ABC的内切圆为☉I(r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2．

　　1、三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心．

　　2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r．

　　3、r=S/p．

　　4、在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2．

　　5、∠BIC=90°+A/2．

　　6、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：

　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．

　　7、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：

　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

　　8、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC内心I的坐标是：

　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．

　　9、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr．

　　10、（内角平分线分三边长度关系）

　　△ABC中,0为内心,∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R,　则BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.

　　外心定义

　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．

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　　三角形外心的性质

　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2．

　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.

　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合.

　　3、GA=GB=GC=R.

　　3、∠BGC=2∠A,或∠BGC=2(180°-∠A).

　　4、R=abc/4S⊿ABC.

　　5、点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

　　(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.

　　6、点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

　　7、点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

　　8、设d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.

　　重心坐标：((c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c).

　　9、外心到三顶点的距离相等.

　　重心三角形重心

　　重心是三角形三边中线的交点,三线交一可用燕尾定理证明.证明过程又是塞瓦定理的特例.

　　已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.

　　求证：F为AB中点.

　　证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BO

　　C,再应用从中点得

　　AF=BF,命题得证.

　　重心的几条性质及证明方法：

　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

　　证明方法：

　　在▲ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h则,S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC),S(▲AOB)=1/3S(▲ABC)所以,S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB)

　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小.

　　证明方法：

　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为（x,y）则该点到三顶点距离和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y