角平分线长的证明谁能帮我证明一下:三角形内角平分线的平方,等-查字典问答网

来自贾同军的问题

　　角平分线长的证明谁能帮我证明一下:三角形内角平分线的平方,等于两条邻边的乘积,减去对边被角平分线分成的两条线段的积.好像要用到一个定理：三角形两边的平方和,等于第三边平方的

　　角平分线长的证明

　　谁能帮我证明一下:三角形内角平分线的平方,等于两条邻边的乘积,减去对边被角平分线分成的两条线段的积.

　　好像要用到一个定理：三角形两边的平方和,等于第三边平方的一半,加上第三条边上中线平方的两倍.

1回答

2020-05-18 22:58

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江修富

　　三角形ABC,AP为∠A平分线

　　AP=t,AB=c,AC=b,BC=a,PC=X,BP=A-X=y

　　b/c=x/y=x/(a-x)

　　x=ab(b+c),y=ac/(b+c)

　　cos∠APB=-cos∠APC

　　余弦定理：

　　(x^2+t^2-b^2)/(2tx)=-(y^2+t^2-c^2)/(2ty)

　　整理：

　　(x+y)t^2=(xc^2+yb^2)-xy(x+y),x+y=a

　　t^2

　　=(xc^2+yb^2)/a-xy

　　=bc(b+c)/(b+c)-xy

　　=bc-xy

　　即：

　　AP^2=AB*AC-BP*PC

　　所以：

　　三角形内角平分线的平方,等于两条邻边的乘积,减去对边被角平分线分成的两条线段的积

2020-05-18 23:01:14