【怎样用交比证明梅内劳斯定理?一条直线l与三角形ABC的三边-查字典问答网
分类选择

来自苏荣伟的问题

  【怎样用交比证明梅内劳斯定理?一条直线l与三角形ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z,则有(AX/BX)*(BY/CY)*(CZ/AZ)=1】

  怎样用交比证明梅内劳斯定理?

  一条直线l与三角形ABC的三边AB,BC,CA分别交于X,Y,Z,则有

  (AX/BX)*(BY/CY)*(CZ/AZ)=1

2回答
2020-05-19 00:00
我要回答
请先登录
霍静

  图你自己有了,我就省略了.

  分析:设法引辅助线(平行线)将求证中所述线段集中到同一直线上进行求证.

  证明:过B引BG//EF,交AC于G,由平行线截线段成比例性质知:

  所以BD/DC=GE/EC,AF/FB=AE/EG,BD/DC.CE/EA.AF/FB=GE/EC.CE/EA.AE/EG=1

  或本题也可以过C引CG//EF交AB延长线于G,将求证中所述线段集中到边AB所在直线上进行求证

2020-05-19 00:01:14
霍静

  证明二过点C作CP∥DF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。证明三过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC',所以AD:DB=AA':BB',BE:EC=BB':CC',CF:FA=CC':AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四连接BF。(AD:DB)·(BE:EC)·(CF:FA)=(S△ADF:S△BDF)·(S△BEF:S△CEF)·(S△BCF:S△BAF)=(S△ADF:S△BDF)·(S△BDF:S△CDF)·(S△CDF:S△ADF)=1此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆:在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理若E,F,D三点共线,则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O,且EDF共线,则(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)ABC为三个顶点,DEF为三个分点(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)=1空间感好的人可以这么记:(上1/下1)*(整/右)*(下2/上2)=1不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个典型的公式给我们看看!不知道你所要了解的是不是交比射影几何学,对这方面我了解也仅限于此!

2020-05-19 00:02:23

最新问答

推荐文章

猜你喜欢

附近的人在看

推荐阅读

拓展阅读

  • 大家都在看
  • 小编推荐
  • 猜你喜欢
  •