【已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别】
已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．
（1）证明：作AE⊥AN交CB的延长线于E，
∵∠EAB+∠BAN=90°，∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD．
又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△AND（ASA），（2分）
∴AE=AN，BE=DN．
∵∠EAM=∠NAM=45°，AM=AM，
∴△AME≌△AMN． …（3分）
∴MN=ME=MB+BE=MB+DN．…（4分）
（2）图2的结论：MN+DN=BM； …（6分）
图3的结论：MN+BM=DN． …（8分）
（3）连接AC．
∵MN=10，CM=8，
在Rt△MNC中，根勾股定理得：MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，
∴CN=6，
如图3在ND上截取DG=BM，
∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠MAG=90°，△AMG为等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN为MG垂直平分线，
所以NM=NG．
∴DN-BM=MN，即MN+BM=DN，
∴MN+CM-BC=DC+CN，
∴CM-CN+MN=2BC，
∴8-6+10=2BC，
∴BC=6．
∴AC=6
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