勾股定理的证明：

　　证法1】（梅文鼎证明）

　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

　　∴∠EGF=∠BED,

　　∵∠EGF+∠GEF=90°,

　　∴∠BED+∠GEF=90°,

　　∴∠BEG=180°―90°=90°

　　又∵AB=BE=EG=GA=c,

　　∴ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴∠ABC+∠CBE=90°

　　∵RtΔABC≌RtΔEBD,

　　∴∠ABC=∠EBD.

　　∴∠EBD+∠CBE=90°

　　即∠CBD=90°

　　又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°,

　　BC=BD=a.

　　∴BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S,则

　　,

　　∴BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2

　　【证法2】（项明达证明）

　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP‖BC,交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ,垂足为N.

　　∵∠BCA=90°,QP‖BC,

　　∴∠MPC=90°,

　　∵BM⊥PQ,

　　∴∠BMP=90°,

　　∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90°.

　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°,

　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°,

　　∴∠QBM=∠ABC,

　　又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c,

　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

　　【证法3】（赵浩杰证明）

　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

　　∴FI=a,

　　∴G,I,J在同一直线上,

　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

　　∠CJB=∠CFD=90°,

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD,

　　同理,RtΔABG≌RtΔADE,

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

　　∴∠ABG=∠BCJ,

　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°,

　　∴∠ABG+∠CBJ=90°,

　　∵∠ABC=90°,

　　∴G,B,I,J在同一直线上,

　　所以a^2+b^2=c^2

　　【证法4】（欧几里得证明）

　　作三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结

　　BF、CD.过C作CL⊥DE,

　　交AB于点M,交DE于点L.

　　∵AF=AC,AB=AD,

　　∠FAB=∠GAD,

　　∴ΔFAB≌ΔGAD,

　　∵ΔFAB的面积等于,

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半,

　　∴矩形ADLM的面积=.

　　同理可证,矩形MLEB的面积=.

　　∵正方形ADEB的面积

　　=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

　　∴即a的平方+b的平方=c的平方

　　【证法5】欧几里得的证法

　　《几何原本》中的证明

　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.

　　在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.

　　其证明如下：

　　设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为AB和BD分别等于FB和BC,所以△ABD必须相等于△FBC.因为A与K和L是线性对应的,所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB^2.同理可证,四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC^2.把这两个结果相加,AB^2+AC^2;=BD×BK+KL×KC由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是个正方形,因此AB^2+AC^2=BC^2.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的