在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考.

　　一直接法

　　根据空间图形的特点和性质,找到垂足的位置,直接向平面引垂线,构造可解的直角三角形求解.

　　例1.（1998年全国高考题）已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直,,且；（I）求侧棱与底面ABC所成角的大小；（II）求侧面与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面的距离.

　　图1

　　简析：（I）如图1,取AC中点D,易得侧棱与底面ABC所成的角为.

　　（II）由于底面ABC,过D作于E,连,知,则为所求二面角的平面角.易求得.

　　（III）要求C到平面的距离,可直接作面于,CH的长就是点到平面的距离.关键是怎样求CH的长.注意到,连BH,则由三垂线定理得,即为二面角的平面角.由（II）知,所以为所求.

　　注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解.

　　二.找垂面法

　　找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.

　　例2.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,的中点为D.（1）求证平面；（2）求点B到平面的距离.

　　图2

　　简析：（1）连与相交于O,连DO.由三角形中位线定理易得,则.

　　（2）由于O为的中点,所以点B到平面的距离等于点到平面的距离.

　　由,得,又,所以面,交线为AD（找到了垂面）.

　　过作于H,则,所以的长度就是点到平面的距离.

　　在中,

　　所以点B到平面的距离为.

　　三.转化法

　　当由点向平面引垂线发生困难时,可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离.

　　例3.（1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.

　　简析：如图3,连AC分别与BD相交于O,与EF相交于H,由EF//BD,得BD//平面EFG.所以O到平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离.易证平面平面GEF,交线为GH.在中,过O作于K,则OK长就是B到平面EFG的距离.利用相似三角形,易得.

　　图3

　　四.等积法

　　即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效,减少了推理,但计算较为复杂.

　　例4.同例3.

　　简析：设B到面EFG的距离为h,

　　由于,

　　所以

　　另一方面,,

　　所以,

　　得即为B到平面GEF的距离.

　　五.坐标向量法

　　通过建立空间直角坐标系,用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离.

　　例5.（2003年江苏高考题）如图4,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D、E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II）求点A1到平面AED的距离.

　　图4

　　简析：（I）易知为与平面ABD所成的角.不难求出.

　　（II）分别以CA、CB、为x轴、y轴、z轴,建立如图4所示的空间直角坐标系.

　　设,则A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1）,（2a,0,2）,E（a,a,1）,,

　　所以

　　由,

　　解得.

　　所以A（2,0,0）,（2,0,2）,E（1,1,1）

　　易证平面平面,交线为AE,所以点在平面AED内的射影H在AE上.

　　设,则

　　由,即,得

　　所以

　　故点到平面AED的距离为.