【求助初中几何题(附图)如何证明一个四边形存在外接圆的条件是-查字典问答网

来自谭宜勇的问题

　　【求助初中几何题(附图)如何证明一个四边形存在外接圆的条件是对内角互补,存在内切圆的条件是对边和相等(即AB+CD=AD+BC).图不好画,我叙述一下好啦,有一个四边形ABCD,左上角为A点,左下角为B点,】

　　求助初中几何题(附图)

　　如何证明一个四边形存在外接圆的条件是对内角互补,存在内切圆的条件是对边和相等(即AB+CD=AD+BC).

　　图不好画,我叙述一下好啦,有一个四边形ABCD,左上角为A点,左下角为B点,右下角为C点,右上角为D点,AC和BD已连接,外接圆(内切圆)圆心为O点.

1回答

2020-05-19 19:18

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李凤仁

　　1、

　　ABCD共圆推出A+C=B+D=180利用圆周角定理容易证明.

　　反之,四边形ABCD中A+C=B+D=180,我们要证明ABCD共圆.

　　过ABC做圆,那么D点的位置有三种可能：在圆上、在圆内、在圆外.

　　如果D在圆内,那么延长AD交圆于E,连结CE.

　　容易知道,ADC+B>E+B=180,与B+D=180矛盾.

　　如果D在圆外,那么AD和CD必然与圆有交点（或切点）,亦容易证明D+B=BC.

　　因此,唯一的可能性是BCC'共线.

　　然而C和C'都在DE上,两直线BC和DE的交点只能有一个.

　　所以C和C'重合.

　　综上可知,BC确实是圆O的切线,从而四边形ABCD拥有内切圆O.证毕.

2020-05-19 19:23:04