已知向量GA+向量GB+向量GC=零向量,则G是三角形的重心,且AG：GE=2：1.

　　【利用向量证明】

　　作图,三角形ABC,BC中点为E,AB中点D,AC中点F,

　　连接GA、GB、GC,

　　因为BC中点为E,根据平行四边形法则,

　　可以得到：向量GB＋向量GC=2向量GE,

　　所以向量GA＋GB＋GC＝向量GA＋2向量GE,

　　因为向量GA+向量GB+向量GC=零向量,

　　所以向量GA＋2向量GE=零向量,

　　向量GA=-2向量GE,

　　这说明向量GE与向量GA的方向相反,且GA的模＝2倍的GE的模

　　（这说明：AG：GE=2：1,这是长度关系,对于任意三角形都是成立的,记住有用处）

　　即G、E、A三点共线,且知AGE是中线,过点O,

　　同理可知：

　　BGF是中线,过点O,

　　CGD是中线,过点O,

　　∴G是三角形的重心,且AG：GE=BG：GF=CG：GD=2：1.

　　这是我整理的一些内容,希望对你有所帮助：

　　【一些结论】：以下皆是向量

　　1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0

　　2若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

　　3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

　　4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²

　　（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）

　　5AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心

　　6AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心

　　7AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

　　或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)经过重心

　　8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

　　【以下是一些结论的有关证明】

　　1.

　　O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量

　　充分性：

　　已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,

　　延长CO交AB于D,根据向量加法得：

　　OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：

　　a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,

　　因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,

　　上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,

　　向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,

　　所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,

　　由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,

　　所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.

　　必要性：

　　已知O是三角形内心,

　　设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,

　　∵O是内心

　　∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE

　　过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,

　　所以四边形OMAN是平行四边形

　　根据平行四边形法则,得

　　向量OA

　　=向量OM+向量ON

　　=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO

　　=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO

　　=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

　　∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

　　2.

　　已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

　　求P点轨迹过三角形的垂心

　　OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

　　OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

　　AP=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

　　AP•BC=入{(AB•BC/|AB|＾2*sin2B)+AC•BC/(|AC|＾2*sin2C)},

　　AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC|cosC/(|AC|＾2*sin2C)},

　　AP•BC=入{-|AB|•|BC|cosB/(|AB|＾2*2sinBcosB)+|AC|•|BC|cosC/(|AC|＾2*2sinCcosC)},

　　AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},

　　根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC

　　∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0,

　　即AP•BC=0,

　　P点轨迹过三角形的垂心

　　3.

　　OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

　　OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

　　AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

　　AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线

　　根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,

　　所以|AB|sinB=|AC|sinC,

　　所以AP与AB+AC共线

　　AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,

　　∴点