（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点,

　　∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0,

　　解得,m=2；

　　（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1,易得顶点B（1,0）,

　　当x=0时,y=1,得A（0,1）．

　　由1=x2-2x+1,解得,x=0（舍）或x=2,所以C点坐标为：（2,1）．

　　过C作x轴的垂线,垂足为D,则CD=1,BD=xD-xB=1．

　　∴在Rt△CDB中,∠CBD=45°,BC=2．

　　同理,在Rt△AOB中,AO=OB=1,于是∠ABO=45°,AB=2．

　　∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°,AB=BC,

　　因此△ABC是等腰直角三角形；

　　（3）由题知,抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3,

　　当x=0时,y=-3；

　　当y=0时,x=-1或x=3,

　　∴E（-1,0）,F（0,-3）,即OE=1,OF=3．

　　第一种情况：若以E点为直角顶点,设此时满足条件的点为P1（x1,y1）,作P1M⊥x轴于M．

　　∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°,

　　∴∠P1EM=∠EFO,得Rt△EFO∽Rt△P1EM,

　　则P1MEM=OEOF=13,即EM=3P1M．

　　∵EM=x1+1,P1M=y1,

　　∴x1+1=3y1①

　　由于P1（x1,y1）在抛物线C′上,

　　则有3（x12-2x1-3）=x1+1,

　　整理得,3x12-7x1-10=0,解得,

　　x1=-1（舍）或x1=103．

　　把x1=103代入①中可解得,

　　y1=139．

　　∴P1（103,139）．

　　第二种情况：若以F点为直角顶点,设此时满足条件的点为P2（x2,y2）,作P2N⊥与y轴于N．

　　同第一种情况,易知Rt△EFO∽Rt△FP2N,

　　得FNP2N=OEOF=13,即P2N=3FN．

　　∵P2N=x2,FN=3+y2,

　　∴x2=3（3+y2）②

　　由于P2（x2,y2）在抛物线C′上,

　　则有x2=3（3+x22-2x2-3）,

　　整理得3x22-7x2=0,解得x2=0（舍）或x2=73．

　　把x2=73代入②中可解得,

　　y2=-209．

　　∴P2（73,-209）．

　　综上所述,满足条件的P点的坐标为：（103,13|9）或（7|3,-20|9）．