来自刘长林的问题
在极坐标中,若椭圆的中心为O,点P,Q,R在椭圆上,且OP,OQ,OR两两夹角均为120度,试证1/OP^2+1/OQ^2+1/OR^2为定值.
在极坐标中,若椭圆的中心为O,点P,Q,R在椭圆上,且OP,OQ,OR两两夹角均为120度,试证1/OP^2+1/OQ^2+1/OR^2为定值.
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2020-05-20 23:06
在极坐标中,若椭圆的中心为O,点P,Q,R在椭圆上,且OP,OQ,OR两两夹角均为120度,试证1/OP^2+1/OQ^2+1/OR^2为定值.
在极坐标中,若椭圆的中心为O,点P,Q,R在椭圆上,且OP,OQ,OR两两夹角均为120度,试证1/OP^2+1/OQ^2+1/OR^2为定值.
证:设P、Q、R三点极坐标分别为:(ρ1,t),(ρ2,t+2π/3),(ρ3,t+4π/3)
设平面直角坐标系中,该椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)
根据极坐标与直角坐标的关系,可知:
(ρ1sint)²/a²+(ρ1cost)²/b²=1
∴1/ρ1²=sin²t/a²+cos²t/b²=(1/a²-1/b²)sin²t+1/b²
同理可得:
1/ρ2²=(1/a²-1/b²)sin²(t+2π/3)+1/b²
=(1/a²-1/b²)[(-1/2)sint+(√3/2)cost]²+1/b²
=(1/a²-1/b²)[(1/4)sin²t-(√3/2)sintcost+(3/4)cos²t]²+1/b²
1/ρ3²=(1/a²-1/b²)sin²(t+4π/3)+1/b²
=(1/a²-1/b²)[(-1/2)sint+(-√3/2)cost]²+1/b²
=(1/a²-1/b²)[(1/4)sin²t+(√3/2)sintcost+(3/4)cos²t]²+1/b²
1/OP²+1/OQ²+1/OR²
=1/ρ1²+1/ρ2²+1/ρ3²
=(1/a²-1/b²)[(3/2)sin²t+(3/2)cos²t]+3/b²
=(3/2)(1/a²+1/b²)为定值