V+F-E=2的证明

　　方法1：（利用几何画板）

　　逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E

　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法.

　　去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变.

　　因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1

　　（1）去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变.依次去掉所有的面,变为“树枝形”.

　　（2）从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱.

　　以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E=2.

　　对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段.因此公式对任意简单多面体都是正确的.

　　方法2：计算多面体各面内角和

　　设多面体顶点数V,面数F,棱数E.剪掉一个面,使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α

　　一方面,在原图中利用各面求内角总和.

　　设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为：

　　∑α=[(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2)·180度]

　　=(n1+n2+…+nF-2F)·180度

　　=(2E-2F)·180度=(E-F)·360度（1）

　　另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和.

　　设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·180角,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度.

　　所以,多面体各面的内角总和：

　　∑α=(V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

　　=（V-2）·360度（2）

　　由(1)(2)得：(E-F)·360度=（V-2）·360度

　　所以V+F-E=2.

　　方法3用拓扑学方法证明欧拉公式

　　证明:

　　如图（图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的）：

　　（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体.

　　（2）去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子.假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1.

　　（3）对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子.每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变.因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变.有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上.

　　（4）如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC.这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变.

　　（5）如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF.这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变.

　　（6）这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子.这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1.

　　（7）因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样.

　　（8）如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点.因此F′-E′+V′仍然没有变.

　　即F′-E′+V′=1成立,

　　于是欧拉公式：F-E+V=2得证.