【已知m,n都是正整数,且m不等于n,求证：m^4+4n^4-查字典问答网

来自刘金武的问题

　　【已知m,n都是正整数,且m不等于n,求证：m^4+4n^4一定可以表示为四个自然数的平方和.】

　　已知m,n都是正整数,且m不等于n,求证：m^4+4n^4一定可以表示为四个自然数的平方和.

1回答

2020-05-20 09:09

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罗宪

　　m^4+4n^4=(m^2+2n^2)^2-4m^2n^2

　　=(m^2+2n^2+2mn)(m^2+2n^2-2mn)

　　=[(m+n)^2+n^2][(m-n)^2+n^2]

　　=(m+n)^2(m-n)^2+n^2(m-n)^2+n^2(m-n)^2+n^4

　　=(m^2-n^2)^2+(mn+n^2)^2+(mn-n^2)^2+(n^2)^2（1）式

　　因为m、n为正整数

　　所以（1）式为4个自然数的平方和

　　所以正整数m^4+4n^4一定能表示为四个自然数的平方和

2020-05-20 09:12:39

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