n阶可导,就是指它的n阶导数在定义域内处处存在.至于等于多少并没有限制.如函数f(x)=x^2.你的一阶导数在x=0时为0,其他点不为0.

　　有n阶连续的导数并不能推出它有n+1阶导数,这和连续不一定可导是一样的道理.例如函数

　　定义在[0,2]上的函数f(x)满足

　　f(x)=x^2,0

　　我的意思是：比如f(x)=x^2，它的二阶导数是2，三阶导数是0，那么我们说这个函数几阶可导？它又有几阶连续的导数？另外，如果题设条件说在x=0的某邻域内二阶可导，是不是意思就是说它在这个范围内有二阶连续的导数，从而可以写成二阶公式？不胜感激！！

　　对于f(x)=x^2肯定是无穷阶可导的，导函数都连续，超过三阶导数都在定义域上为0。它的泰勒展开到2阶或者更高价都是x^2，余项为0而已。幂级数展开也就是它本身。另外，可导导函数不一定连续，但是泰勒展开除了写成积分余项（估计你没学）外，都不要求导函数连续。在x=0的领域二阶可导，可以写成1阶泰勒展开（注意泰勒公式的条件要求有n+1阶导函数，但拉格朗日余项，或者佩亚诺余项都没有说要导函数连续）可导但是导函数不连续例子：f(x)=x^2*sin(1/x),且补充定义f(0)=0.则在x=0的领域一阶可导，但是可以验证它的导函数在x=0处不连续。如果令f(x)=x^3*sin(1/x),且补充定义f(0)=0.则在x=0的领域二阶可导，但是可以验证它的二阶导函数在x=0处不连续。（第二个例子验证麻烦点，第一个例子你理解就可以了）更进一步数学分析中有达布定理，说的是如果一个函数在[a,b]上可导，那么导函数不可能存在第一类间断点（就是说在[a,b]处处可导的前提下，导函数如果不连续，只能有第二类间断点）。

　　题设条件说在x=0的某邻域内二阶可导，能不能写成f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2+o(x^2)？同济五版高数中关于裴亚罗余项有个小注解，说要写成这样要求有二阶连续的导数，所以这么写不对吧？应该只能写到x而写不到x的平方，是吗？不胜感激！！

　　刚才证了下确实可以。只要证明[f(x)-f(0)-f'(0)x-f''(0)/2!*x^2]/x^2当x趋于0时，极限是0即可用一次洛必达法则得1/2*[f'(x)-f'(0)-f''(0)*x]/x这个极限等于1/2*{lim[f'(x)-f'(0)]/x-f''(0)}=1/2*[f''(0)-f''(0)]=0.如果有连续的条件就可以用两次洛必达法则，直接求极限就好。对于n阶可导的情况也是一样。但是注意这个只适用于佩亚诺余项。之前我也不知道可以，刚才证明了才知道。应该不会考这么细吧，不过知道总还是好的。

　　知道了，你是大学老师吗？