设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x-查字典问答网
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  设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明,

  设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明,

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2020-05-21 01:00
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唐冰

  设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明.

  证明:f(0)=0是F(X)在x=0处可导的充要条件.证明如下:

  先证充分性.

  当x在0的左侧时,F(x)=f(x)(e^x-sin2x).(1)

  当x在0的右侧时,f(x)=f(x)(e^x+sin2x).(2)

  将(1)对x求导:

  F′(x)=f′(x)(e^x-sin2x)+f(x)(e^x-2cos2x);故F′(0ֿ)=f′(0)-f(0).(3)

  将(2)对x求导:

  F′(x)=f′(x)(e^x+sin2x)+f(x)(e^x+2cos2x);故F′(0+)=f′(0)+3f(0).(4)

  由(3)(4)可见:当f(0)=0时就有F′(0ֿ)=F′(0+)=f′(0),即F(x)在x=0处的左右导数都存在而且相等,

  因此F(x)在x=0处可导;故f(0)=0是F(x)在x=0处可导的充分条件.

  再证必要性:

  如果F(x)在x=0处可导,则必有F′(0ֿ)=F′(0+)=f′(0),由(3)(4)可见,此时必有f(0)=0;因此f(0)=0

  是F(x)在x=0处可导的必要条件.

2020-05-21 01:02:13

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