设f(x)=x^a×cos(1x),x≠0,f(x)=0,x-查字典问答网
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来自黄达尧的问题

  设f(x)=x^a×cos(1x),x≠0,f(x)=0,x=0,其导数在x=0处连续,a的取值范围是?在网上看到这个问题的答案是:利用定义有f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limx^{a-1)cos(1/x)=0,当a>1时,若a《1时没有极限,即不可导.在不

  设f(x)=x^a×cos(1x),x≠0,f(x)=0,x=0,其导数在x=0处连续,a的取值范围是?

  在网上看到这个问题的答案是:利用定义有f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limx^{a-1)cos(1/x)=0,当a>1时,若a《1时没有极限,即不可导.在不等于0的地方,利用初等函数的求导法则有有f‘(x)=ax^{a-1)cos(1/x)-x^{a-2}sin(1/x),当x趋于0时,必须有a>2时上式才趋于0,此时连续,故a>2时导数连续.

  我有个疑问:上述答案说f‘(x)=ax^{a-1)cos(1/x)-x^{a-2}sin(1/x),当x趋于0时,必须有a>2时上式才趋于0.假如x=0.000001,a-2=0.001的话,x^{a-2}不是趋于1的吗?那f‘(x)式子就不是趋于0了吧?

3回答
2020-05-22 18:44
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林立春

  是x趋于0,因此你设的x=0.000001是不对的,x不能是定值.当a-2=0.001时,x^(a-2)趋于0,sin(1/x)有界,两者乘积趋于0.第一项也是趋于0的,两项的差是0.

2020-05-22 18:45:08
黄达尧

  你好,我的意思是:如果x趋于无穷小,0

2020-05-22 18:49:47
林立春

  a是定值,a-2是定值,a-2不能趋于0+。求极限时要注意谁是变量,谁是常量。

2020-05-22 18:51:48

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