费马点的解法与证明?-查字典问答网
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  费马点的解法与证明?

  费马点的解法与证明?

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2020-05-22 18:20
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任午令

  怎么证明费马点到三角形顶点距离最短?2006年4月9日(一)以数学方法证明费马点的存在及其特性:

  Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作法及证明,我把文献上找到的一一列於附件说明,另外我也试著做做看是否有其他的方式可以求出费马点:

  1.费马点之求法

  (1)做一三内角均小於120°之△ABC.

  (2)以,为一边,分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE.

  (3)连接,交於P点,则P点即为所求.

  2.费马点的性质:L=++为最小值.

  首先证明由上述作法做的费马点存在-----

  ㄅ.旋转△BPC,

  使与重合(=),

  P点落在H处

  则∠BPC=∠BHG=120°

  ㄆ.又∠BHP=60°(证明在ㄇ)

  ∴∠BHG+∠BHP=180°

  故A,P,H,G三点共线

  ㄇ.∵△BHG△BPC

  得=,=

  ∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3

  ∴∠1+∠2=60°=∠PBH

  因此△BPH为正△,得=

  知存在一点P使得++=++=

  再来证明所求出的点至三顶点距离最小

  ㄅ.在ABC内另取一点Q异於P,

  连接、、

  ㄆ.参考步骤(1)之证法同理可证得++=++

  ㄇ.

  故P点使++为最小值

  Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部,那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形,是否能找到一点至三顶点距离和最短?

  (1)△ABC的∠A>120°,P为△ABC内部任一点

  延长至B',使=

  做∠B'AP'=∠BAP,取=

  故△B'AP'△BAP,得=.

  於是++=++,

  (2)但因∠A>120°,故∠B'AB<60°,

  亦得∠PAP'<60°;从而等腰三角形P'AP

  中∠AP'P>60°,故>

  则++>++>+,即++>+

  亦即:如果有一点P与A重合,则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点.

  (3)证得:若已知三角形有一内角大於或等於120°,则费马点即为该内角的顶点.

  Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点,但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ!也就是如果改变形状后是否能找到一点P点,使得P点至顶点距离和最小,我们以下就最简单的四边形先做讨论

  (1)已知:四边形ABCD

  求作:ABCD内的P点

  做法:在四边形ABCD中

  ∵对角线为直线

  ∴对角线为A、C之间的最小距离

  同理对角线为B、D之间的最小距离

  发现:、之交点P为四边形ABCD内之一点使得+++为最小值

  即P点至四边形四个顶点距离和最小

  (2)证明

  在四边形ABCD内另取一点P'异於P

  连接、、、

  △P'BD、△AP'C中

  +>且+>(任两边和大於第三边)

  ∴+++>+=+++

  故P点使+++为最小值

  (二)运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之

  母』,那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ?参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验:

  1.实验一:从三力平衡证明费马点的性质-、、所夹的三个角必为120°.

  (1)以木条为边组装正三角形,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,另一端连在一起代表P点.

  (2)让重物自然垂下到达静止状态,量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度(数据说明在表一).

  (3)因为三重物重量相等,三条线的张力亦相同,即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图(参考图A)形成的「封闭三角形(参考图B)」为正三角形,亦即该力图之三力所夹的三个角

  皆为120°.

  (4)将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和(三)求出之P点一次函数,以电脑程式计算(详细程式参考附件二)是否符合.

  (5)重复以上步骤5次,并改变三角形的形状重复操作.

  2.实验二:从实验发现费马点具有最低的位能的特性.

  (1)以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,由实验一已知P点为费马点.

  (2)於P点(费马点)悬挂一黏土块W,让重物自然垂直向下移动到达静止状态(装置参考图C),量测此时P点与水平面之垂直距离,分别作三次后取平均值,高度为hP.

  (3)将P点任意移

2020-05-22 18:23:26

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