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来自李随意的问题

  【P为正方形ABCD的边CD上任一点,BG垂直AP于G,在AP上取点E,使AG=GE,连接BE、CE1)求证:BE=BC2)若角CBE的平分线交AP的延长线于N点,连接DN,求证:BN+DN=根号2倍的AN(最主要是第二问~)】

  P为正方形ABCD的边CD上任一点,BG垂直AP于G,在AP上取点E,使AG=GE,连接BE、CE

  1)求证:BE=BC

  2)若角CBE的平分线交AP的延长线于N点,连接DN,求证:BN+DN=根号2倍的AN

  (最主要是第二问~)

1回答
2020-05-22 23:17
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鲁国光

  证明:(1)正方形ABCD,AB=BC=CD=DA

  ∵BG⊥AE,AG=GE,Rt△ABG≌Rt△BGE

  ∴AB=BE=BC

  连接CN,延长BN交CE于H

  自点D作DM⊥AN于M,显然Rt△ADM≌RtABG,DM=AG

  ∵BN平分∠CBE,∴CH=HE

  ∵∠CBN=∠EBN,BE=BC,BN=BN

  ∴△BCN≌△BEN,∴CN=NE,△CEN是等腰△

  延长AE交DC延长线于F,则有:∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN

  A,B,C,D,N五点共圆,∠AND=∠BNG=45°【AB弦所对圆周角=45°】

  Rt△DMN,Rt△BGN都是等腰直角三角形,√2DM=√2AG=DN,√2GN=BN,√2AG+√2GN=√2AN=BN+DN

  标准答案上是不做任何辅助线,仅用等腰三角形和直角三角形通过

  ∠GBP+∠PBN=∠GBN=∠PNB=∠NBE+∠NEB得出Rt△BPG是等腰直角三角形

  进而得到,AM=GN

  参考:

  ⑴⊿BGA≌⊿BGE(SAS),BE=BA=BC

  ⑵⊿BNC≌⊿BNE(SAS),∴∠BCN=∠BEN=∠BAE.

  A,B,C,D,N共圆.∠DNB=90°.作AN的垂线AK交ND延长线于K.

  ∠ADK=∠ABN(共圆).∠DAK=∠BAN.⊿ADK≌⊿ABN,DK=BN.AN=AK

  ⊿ANK是等腰直角三角形,BN+DN=KD+DN=KN=√2AN.

2020-05-22 23:21:43

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