证明：

　　向量组中任一其它向量都可由最大线性无关组线性表示,且最大线性无关组中向量当然可以由最大无关向量组表示,

　　1若ajÎ{a1,a2,...,ar},则

　　aj=0×a1+0×a2+...+0×aj-1+aj+0×aj+1+...+0×ar,

　　在任一最大线性无关组上任添一个原向量组中的向量,就线性相关,原向量组中任一向量必可由任一最大线性无关组线性表示.

　　向量组中任意向量都能用最大线性无关组线性表出,Ⅰ中任意向量都能用Ⅱ线性表出,Ⅱ中任意向量都能用Ⅰ线性表出,于是Ⅰ与Ⅱ等价.

　　2设向量组Ⅰ与Ⅱ是等价的,且都是线性无关向量组,分

　　别含有r与s个向量,则线性无关向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示,

　　由推论1得r≤s；同样线性无关向量组Ⅱ可经向量组Ⅰ线性表示,

　　r≤s,所以s=r.