设向量组(1)α1,α2,α3;向量组(2)α1,α2,α3-查字典问答网

来自翟少磊的问题

　　设向量组(1)α1,α2,α3;向量组(2)α1,α2,α3,α4;向量组(3)α1,α2,α3,α5如果r(1)=r(2)=3,r(3)=4,证明：r(α1,α2,α3,α5-α4）=4.请尽快.

1回答

2020-05-22 11:06

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黄开枝

　　证：

　　设α1,α2,α3,α5-α4线性相关.

　　则存在不全为0的实数k1、k2、k3、k4①

　　似的k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0

　　即k1α1+k2α2+k3α3+k4α5-k4α4=0

　　∵r(2)=3

　　∴α4可由α1,α2,α3线性表示.

　　设α4=p1α1+p2α2+p3α3【p1、p2、p3不全为0】

　　∴k1α1+k2α2+k3α3+k4α5-k4(p1α1+p2α2+p3α3)=0

　　即(k1-k4p1)α1+(k2-k4p2)α2+(k3-k4p3)α3+k4α5=0

　　∵r(3)=4

　　∴k1-k4p1=0

　　k2-k4p2=0

　　k3-k4p3=0

　　k4=0

　　解得k1=k2=k3=k4=0,与①矛盾

　　故α1,α2,α3,α5-α4线性无关.

　　所以r(α1,α2,α3,α5-α4）=4

2020-05-22 11:10:38