来自孙晓光的问题
高等代数—线性方程组求证:已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明:这两个向量组等价.
高等代数—线性方程组
求证:已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明:这两个向量组等价.
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2020-05-22 11:14
高等代数—线性方程组求证:已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明:这两个向量组等价.
高等代数—线性方程组
求证:已知两向量组有相同的秩,且其中一组可以被另一组线性表出,证明:这两个向量组等价.
两个向量组A,B的极大线性无关组为a_1...a_r;b_1...b_r;
且A可由B线性表出,则a_1...a_r可由b_1...b_r线性表出.
现在要证明b_1...b_r可以由a_1...a_r表出.
考虑a_1,a_2...a_r,b_i组成的向量组.
设a_j=...+u_ji*b_i+...
则令a'_j=a_j-u_ji*b_i
a'_1...a'_r可由b_1...b_r-1,b_r+1...b_r表出
所以a'_1...a'_r线性相关.k_1*a'_1+...=0存在非零解.
则k_1*(a_1-u_1i*b_i)+...
=k_1*a_1+...+k_r*a_r+(k_1*u_1i+...)*b_i=0有非零解
因为a_1...a_r无关,所以易得(k_1*u_1i+...)不为0.
所以b_i可以被a_1...a_r线性表出.