AB,是m×n的矩阵,

　　设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组

　　β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.

　　那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,

　　B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.

　　于是

　　A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.

　　因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,

　　α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,

　　即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)

　　α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)如果线性无关的话就是等于