>>>>能不能说无限维空间中任意无穷个线性无关的向量都可以去做基?

　　绝对不可以.

　　一个反例是,用Q表示有理数域,考虑可数个Q的copy的直积,

　　V=Q×Q×.

　　用e_i表示只有第i坐标为1,其余都是零的V的元.那么

　　{e_i,i=1,2,.}

　　是V的一个线性无关的子集,但不是V的基.例如元素

　　(1,1,1,1,1,1.)

　　不能写成{e_i}的线性组合.事实上{e_i}在V中生成的子空间是Q的可数重直和

　　Q⊕Q⊕.

　　它是V的一个真(proper)子空间.

　　(注记)

　　1)无穷维的向量空间已有研究,在泛函分析中很常见.但是我没有学过.

　　2)上面的V的维数其实已经大于"可数势",所以显然V的可数子集{e_i,i=1,2,.}不是基.

　　但是即使我们从V中取到线性无关的子集X,使它的势与dim(V)相等,仍然不能结论X是基.例如,选定无穷维向量空间V的一个基B,因为B是无穷集合,可以取到一个与B等势的真子集B',但是B'一定不是V的基.