证明：（1）由AB=0，知B的列向量是AX=0的解向量

　　而AX=0的基础解系所含解向量的个数为n-秩（A）

　　从而秩（B）≤n-秩（A）

　　即秩（A）+秩（B）≤n．

　　（2）由秩（A）=r，知A的行向量组的秩为r

　　即A的行向量组的极大无关组所含向量的个数为r

　　不妨设a（1），a（2），…，a（r）是A的行向量组的最大线性无关组

　　则A的其余行向量a（r+1），…，a（n）都可由a（1），a（2），…，a（r）线性表示，

　　设a（i）=ki1a（1）+ki2a（2）+…+kira（r），（i=r+1，…，m）

　　对A作行初等变换：ri-ki1r1-ki2r2-…-kirrr，（i=r+1，…，m）（ri表示第i行），且这些变换是可逆的

　　同时，也对A做相应的列变换（这些列变换是行变换的逆）

　　就可以使矩阵的第r+1行到第m行全化为0

　　所以A经行初等变换和列初等变换，总可以化为第r+1行到第n行全为0的矩阵，

　　即存在可逆阵P，使PAP-1后n-r行全为零．