设r(α1,…,αs)=r(β1,…,βt)=r

　　不妨设α1,…,αr;β1,…,βr分别是α1,…,αs和β1,…,βt的极大无关组

　　由于α1,…,αs可由β1,…,βt线性表示

　　所以α1,…,αr可由β1,…,βr线性表示

　　所以存在r阶矩阵K使得(α1,…,αr)=(β1,…,βr)K.

　　由于β1,…,βr线性无关

　　所以r(K)=r(α1,…,αr)=r.

　　所以K可逆,有(α1,…,αr)K^-1=(β1,…,βr).

　　所以β1,…,βr可由α1,…,αr线性表示

　　所以α1,…,αr与β1,…,βr等价.

　　所以α1,…,αs与β1,…,βt等价.