引理1：自然数a,a*a除以3的余数不可能是2.

　　证：a=3k命题成立；a=3k加减1,aa=9kk加减6k+1;命题成立

　　引理2：自然数a是奇数,则a*a除以8的余数是1.

　　证：(2k+1)^2=4k(k+1)+1,k与k+1中必有偶数,证毕.

　　依题意设N＝2aa+余数1=3bb+余数2

　　2aa=3bb+(余数2-余数1)

　　---显然两个余数不能相等.否则2aa=3bb根号(3/2)=b/a,左边无理数＝右边有理数

　　---余数2-余数1不能为1：否则根据引理1,左边除以3的余数只能是0,2,而右边是1.

　　所以余数1与余数2的组合只有：（0,2）,（1,0）分别分析

　　一、0　2

　　2aa=3bb+2,显然b是偶数,bb是4倍数；则aa是奇数,根据引理2,左边是16倍数加2,即bb是16的倍数,　b是4的倍数.设b=4c

　　则aa=24cc+1

　　这里观察cc=1有一个N＝2aa＝50,在本条件下是最小的解.

　　二、1　0

　　2aa　=3bb-1,两边减2得2(a+1)(a-1)=3(b+1)(b-1)

　　b-1与b+1是两个相邻偶数,二者相乘是8倍数,所以a是奇数,且(a+1)(a-1)是8倍数.

　　因此等式左边是16倍数,再推出右边是48倍数,N＝3bb是48倍数加3,

　　所以本条件下即使有解,N必定超过50

　　因此最小解是N＝50