设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明1,x0,x0+a0,x0+a2...xo+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量2AX=b的任意解X可表示成：X=k0X0+k1(X0+a1
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1,x0,x0+a0,x0+a2...xo+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2AX=b的任意解X可表示成：
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1)显然x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r都是AX=b的解.
设k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则(k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0(*)
等式两边左乘A,因为Ax0=b,Aai=0
所以有(k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以k0+k1+...+kn-r=0
所以(*)式化为k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为α1,α2,...,αn-r线性无关
所以k1=k2=...=kn-r=0
进而有k0=0
所以x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r线性无关
故x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2)由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
=(1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令k0=1-k1-k2-...-kn-r
则Ax=b的任一解可表示为X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中k0+k1+...+kn-r=1.(题目中没这个?)