来自孙希莲的问题
设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β3=α1+3α2+4α3线性无关
设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β3=α1+3α2+4α3线性无关
1回答
2020-05-24 23:55
设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β3=α1+3α2+4α3线性无关
设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+2α2+α3,β2=α1+α2+α3,β3=α1+3α2+4α3线性无关
证:设k1β1+k2β2+k3β3=0
则k1(α1+2α2+α3)+k2(α1+α2+α3)+k3(α1+3α2+4α3)=0
即有(k1+k2+k3)α1+(2k1+k2+3k3)α2+(k1+k2+4k3)α3=0
因为α1,α2,α3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
2k1+k2+3k3=0
k1+k2+4k3=0
因为系数行列式
111
213
114
=-3≠0
所以方程组只有零解:k1=k2=k3=0
所以β1,β2,β3线性无关.
另证:由已知
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P
其中P=
111
213
114
且由|P|=-3≠0知P可逆.
因为α1,α2,α3线性无关
所以r(β1,β2,β3)=r(P)=3.[参]
所以β1,β2,β3线性无关.
这个结论在解答判断题时非常有效,只需计算组合系数行列式是否为0即可