此题等价于证明向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ,μ,υ,使得λe1+μe2+υe3=0”(因为将λe1+μe2+υe3=0变形即为一个向量可以表示为另两个向量的线形组合)证明如下

　　1.若向量e1、e2、e3共面,

　　(i)其中至少有两个不共线,不妨设e1,e2不共线,则e1,e2线性无关,e3可用e1,e2线性表示,即存在实数λ,μ,使得e3=λe1+μe2,于是

　　λe1+μe2-e3=0.

　　即存在三个不全为零的实数λ,μ,υ=-1,使得

　　λe1+μe2+υe3=0”.

　　(ii)若e1,e2,e3都共线,则其中至少有一个不为0,不妨设e1≠0,则存在实数λ,使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ,μ=-1,υ=0,使得λe1+μe2+υe3=0”.

　　2.存在三个不全为零的实数λ,μ,υ,使得λe1+μe2+υe3=0”,不妨设λ≠0,

　　就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,

　　于是e1,e2,e3共面.