若向量b,a1,a2,...an线性相关,则存在不全为0的实数m,m1,m2,……,mn,使得

　　bm+a1m1+a2m2+……+anmn=0,

　　若m=0,则a1m1+a2m2+……+anmn=0,其中m1,m2,……,mn不全为0,

　　这与“向量a1,a2,...an线性无关”矛盾,

　　∴m≠0,b=-(a1m1+a2m2+……+anmn)/m,

　　∴向量b可由a1,a2,……,an线性表示.

　　反之,若向量b可由a1,a2,……,an线性表示,则

　　b=a1m1+a2m2+……+anmn,

　　∴a1m1+a2m2+……+anmn+（-1）b=0,

　　∴向量b,a1,a2,...an线性相关.

　　由于“线性相关”和“线性无关”是对立的,所以命题成立.