【若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,-查字典问答网

来自翟健的问题

　　【若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系?】

　　若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系?

1回答

2020-05-25 00:46

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龚淑华

　　证明:(1)因为齐次线性方程组的解的线性组合仍是解

　　所以X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3都是AX=0的解.

　　(2)设k1(X1+X2)+k2(X2-X3)+k3(X1+X2+X3)=0

　　则(k1+k3)X1+(k1+k2+k3)X2+(-k2+k3)X3=0.

　　因为X1,X2,X3为齐次线性方程AX=0的一个基础解系

　　所以X1,X2,X3线性无关.

　　所以有

　　k1+k3=0

　　k1+k2+k3=0

　　-k2+k3=0

　　又因为系数行列式=

　　101

　　111

　　0-11

　　所以k1=k2=k3=0.

　　所以X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3线性无关.

　　(3)因为AX=0的基础解系含3个向量

　　故X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是AX=0的基础解系.

2020-05-25 00:48:06