3.6.2龙格-库塔方法

　　改进的欧拉法比欧拉法精度高的原因在于，它在确定平均斜率时，多取了一个点的斜

　　率值。这样，如果我们在[Xi,X(i+1)]上多取几个点的斜率值，然后对它们作线性组合得到平均

　　斜率，则有可能构造出精度更高的计算方法。这就是龙格-库塔法的基本思想。龙格-库塔

　　法可看作是欧拉法思想的提高，属于精度较高的单步法。

　　龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。MATLAB中提供了几

　　个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数，即ode23，ode45，ode113，ode23s，ode15s

　　等，其中最常用的函数是ode23(二三阶龙格-库塔函数)和ode45(四五阶龙格-库塔函数)，

　　下面分别对它们进行介绍。

　　1．二三阶龙格-库塔函数(ode23)

　　函数ode23的调用格式如下：

　　(1)[T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0)输入参数中的'F'是一个字符串，表示微分方程的形

　　式，也可以是f(x,y)的M文件。TSPAN=[T0TFINAL]表示积分区间，Y0表示初始条件。

　　函数ode23表示在初始条件Y0下从T0到TFINAL对微分方程'(,)yFty=进行积分。函数

　　F(T,Y)必须返回一列向量，两个输出参数是列向量T与矩阵Y，其中向量T包含估计响应

　　的积分点，而矩阵Y的行数与向量T的长度相等。向量T中的积分点不是等间距的，这是

　　为了保持所需的相对精度，而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点T0,T1,"的解，

　　TSPAN=[T0T1TFINAL]。需要注意的是：TSPAN中的点必须是单调递增或单调递减的。

　　(2)[T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS)其中，参数options为积分参数，它可由函

　　数ODESET来设置。Options参数最常用的是相对误差‘RelTol’(默认值是1e-3)和绝对误差

　　‘AbsTol’(默认值是1e-6)，其他参数同上。

　　(3)[T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2,…)参数P1,P2,…可直接输入到函数

　　F中去．如F(T,Y,FLAG,P1,P2,…)。如果参数OPTIONS为空，则输入OPTIONS=[]。也可

　　以在ODE文件中(可参阅ODEFILE函数)指明参数TSPAN、Y0和OPTIONS的值。如果参

　　数TSPAN或Y0是空，则ODE23函数通过调用ODE文件[TSPAN,Y0,OPTIONS]=

　　F([],[],'init')来获得ODE23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空，则函

　　数ODE23会忽略，此时为ODE23('F')。

　　(4)[T,Y,TE,YE,IE]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS)此时要求在参数options中的事

　　件属性设为'on'，ODE文件必须被标记，以便P(T,Y,'events')能返回合适的信息，详细可参

　　阅函数ODEFILE。输出参数中的TE是一个列向量，矩阵YE的行与列向量TE中元素相

　　对应，向量IE表示解的索引。

　　2．四五阶龙格-库塔函数(ode45)

　　函数ode45的调用格式同ode23相同，其差别在于内部算法不同。如果'F'为向量函数，

　　则ode23和ode45也可用来解微分方程组。

　　【例3.47】分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题：

　　先将微分方程写成自定义函数exam2fun.m

　　functionf=exam2fun(x,y)

　　f=-y-x*y.^2;

　　f=f(:);

　　然后在命令窗口输入以下语句：

　　>>[x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1)

　　x1=

　　0.1000

　　0.2000

　　0.3000

　　0.4000

　　0.5000

　　0.6000

　　0.7000

　　0.8000

　　0.9000

　　1.0000

　　y1=

　　1.0000

　　0.9006

　　0.8046

　　0.7144

　　0.6314

　　0.5563

　　0.4892

　　0.4296

　　0.3772

　　0.3312

　　0.2910

　　>>[x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1)

　　x2=

　　0.1000

　　0.2000

　　0.3000

　　0.4000

　　0.5000

　　0.6000

　　0.7000

　　0.8000

　　0.9000

　　1.0000

　　y2=

　　1.0000

　　0.9006

　　0.8046

　　0.7144

　　0.6315

　　0.5563

　　0.4892

　　0.4296

　　0.3772

　　0.3312

　　0.2910

　　odefun=@(t,y)2*t+y^2;%定义函数

　　tspan=[01.57];%求解区间

　　y0=0;%初值

　　[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y)%作图

　　title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1