基础解系是对齐次线性方程组而言的,题目应该为:

　　若a1,a2,a3为Ax=0的基础解系,则a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基础解系

　　证明一个向量组是基础解系需证:

　　1.都是解

　　2.线性无关

　　3.向量个数达到基础解系所含向量个数,即n-r(A)

　　3'.任一解向量可由它线性表示

　　1.由于齐次线性方程组的解的线性组合仍是解,所以a1+a2,a2+a3,a3+a1都是Ax=0的解

　　2.由(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=(a1,a2,a3)B

　　B=

　　101

　　110

　　011

　　|B|=2,所以B可逆

　　所以a1+a2,a2+a3,a3+a1与a1,a2,a3等价

　　所以r(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=r(a1,a2,a3)=3

　　故a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关,且任一解向量可由它线性表示.

　　所以a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基础解系.

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