牛吃草问题概念及公式：

　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的.典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天.由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化.解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰

　　1)设定一头牛一天吃草量为“1”

　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

　　3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度.

　　这四个公式是解决消长问题的基础.

　　由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量.牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的.正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式.

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草.由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天.

　　解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题.

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量.

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草.

　　解多块草地的方法

　　多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些.

　　工程问题公式：

　　在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是

　　工作量=工作效率×时间.

　　在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”.

　　举一个简单例子.

　　一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?

　　一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位,

　　再根据基本数量关系式,得到

　　所需时间=工作量÷工作效率

　　例题：一项工程,甲单独施工10天完成,乙单独施工15天完成.两人合作几天完成这项工程?

　　分析：把这项工程看做单位“1”,甲单独施工10天完成,就说明甲一天可以完成这项工程的1/10,也就是甲的工作效率是1/10；同样的道理,乙单独施工15天完成,就说明乙一天可以完成这项工程的1/15,也就是乙的工作效率是1/15.

　　现在两人要合作,那么他们一天就可以完成这项工程的（1/10+1/15）,也就是他们的工作效率之和是（1/10+1/15）.要求合作几天完成,就用：

　　工作总量÷工作效率之和=工作时间

　　●例4一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间?

　　解一：甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量

　　余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是

　　2+8+1=11（天）.

　　答：从开始到完工共用了11天.

　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作

　　（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）.

　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天.

　　在甲队单独做8天后,还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后,还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

　　4=3+1,

　　其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天.

　　解四：

　　方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息,我们就假设他们在一起休息.)

　　甲队每天工作量为1/10,乙为1/30,因为甲休息了2天,而乙休息了8天,因为8>2,所以我们假设甲休息两天时,乙也在休息.那么甲开始工作时,乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10,剩下的工作量为1-6/10=4/10,而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量,所以,工程量的4/10需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天.所以从开始到完工共需：8+3=11(天）

　　列算式为：1÷（1/10+1/15）=6（天）

　　答：两人合作6天完成这项工程.

　　行程问题公式：

　　基本公式：路程=速度×时间

　　路程÷时间=速度

　　路程÷速度=时间

　　平均速度=总路程÷总时间

　　相遇问题（直线）

　　甲的路程+乙的路程=总路程

　　相遇问题（环形）

　　甲的路程+乙的路程=环形周长

　　编辑本段

　　追及问题

　　追及时间=路程差÷速度差

　　速度差=路程差÷追及时间

　　追及时间×速度差=路程差

　　追及问题（直线）

　　距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间

　　追及问题（环形）

　　快的路程-慢的路程=曲线的周长

　　编辑本段

　　流水问题

　　顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

　　逆水行程=（船速－水速）×逆水时间

　　顺水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速－水速

　　静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

　　水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

　　船速：(顺水速度+逆水速度）÷2

　　编辑本段

　　解题关键

　　船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推