设A是n*n矩阵,已知对角线上的aii>0(对角线上的元素大-查字典问答网

来自孙悦红的问题

　　设A是n*n矩阵,已知对角线上的aii>0(对角线上的元素大于零）其余的元素都小于零,并且矩阵A的每一行相加都等于0,证明；矩阵A的秩r(A)=n-1

　　设A是n*n矩阵,已知对角线上的aii>0(对角线上的元素大于零）其余的元素都小于零,

　　并且矩阵A的每一行相加都等于0,证明；矩阵A的秩r(A)=n-1

1回答

2020-05-27 10:38

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平凡

　　显然等于n是不可能的了.

　　然后证明比如前n-1列是线性无关的.第n列就写作A_n

　　假设存在一组不全为0的系数b_1b_2...b_{n-1}使得b_1A_1+b_2A_2+...+b_{n-1}A_{n-1}=0

　　那么设其中最大的一个是b_k显然这个b_k要大于0吧,要不第n行就有问题了,因为前n-1列的第n行的数都是小于0的,系数再都0了.

　　考虑第k行,除了第k列之外,其他的数都=a_kj*b_k

　　所以和的第k行是b_1*a_k1+b_2*a_k2+...+b_{n-1}*a_k{n-1}>=b_k*a_k1+b_k*a_k2+...+b_k*a_k{n-1}=b_k*(a_k1+a_k2+...+a_k{n-1})=b_k*(-a_kn)

　　上面说了b_k>0,根据条件a_kn

2020-05-27 10:39:20