来自关铁梁的问题
【线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0?】
线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0?
1回答
2020-05-27 15:03
【线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0?】
线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0?
设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量
X=(x_1,...x_n)都有XMX′>0,就称M正定(PositiveDefinite).
正定矩阵在相合变换下可化为标准型,即单位矩阵.
所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵.
另一种定义:一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法:
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数.
证明:若,则有
∴λ>0
反之,必存在U使
即:A正定
由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负.
特征值都在主对角线上运算你知道的吧.