【已知A是3阶实对称矩阵,满足A^4+2A^3+A^2+2A-查字典问答网
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来自彭朝勇的问题

  【已知A是3阶实对称矩阵,满足A^4+2A^3+A^2+2A=0,且秩r(A)=2求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E)我能求出矩阵A的特征值为0或-2但是答案说由于实对称矩阵必可以相似对角化且秩r(A)=r(相似对角化符号)=】

  已知A是3阶实对称矩阵,满足A^4+2A^3+A^2+2A=0,且秩r(A)=2求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E)

  我能求出矩阵A的特征值为0或-2但是答案说由于实对称矩阵必可以相似对角化且秩r(A)=r(相似对角化符号)=2,所以A的特征值是0,-2,-2.请问为什么可以确定-2为二重特征值(注:相似对角化的符号不会打)

1回答
2020-05-27 18:34
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季春霖

  因为A可相似对角化

  所以A与对角矩阵B相似,且B的主对角线上的元素都是A的特征值

  而相似矩阵的秩相同

  所以对角矩阵B的秩也是为2

  所以A的非零特征值的个数为2

  故特征值为0,-2,-2

  总结:可对角化的矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数

2020-05-27 18:35:56

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