【若3维列向量α,β满足α'β=2,则矩阵βα-查字典问答网

来自梁玉红的问题

　　【若3维列向量α,β满足α'β=2,则矩阵βα'的非零特征值怎么求?】

　　若3维列向量α,β满足α'β=2,则矩阵βα'的非零特征值怎么求?

6回答

2020-05-27 22:38

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陶海军

　　是这样的,由向量内积为2可知矩阵βα转置的迹为2,即特征值之和为2,又因为由向量相乘所得到的矩阵秩为1,故只有1个非零特征值,所以非零特征值为2

2020-05-27 22:39:26

梁玉红

　　追问一句，只是α'β的秩为1，说明α'β的特征值为2，βα'的特征值难道等于α'β的特征值？

2020-05-27 22:41:11

陶海军

　　描述的再清楚些，α转置*β得到的是一个常数，即β*α转置所得矩阵的“迹”，就是主对角线的元素之和，而对于所有方阵而言，迹与方阵对应的所有特征值的和是相等的，本题得到的是三阶方阵，即有3个特征值，判断秩为1，说明有一个非零特征值和两个0特征值，三者之和为2，所以非零特征值才是2

2020-05-27 22:45:15

梁玉红

　　弱弱的问一句：为什么βα'的秩为1？

2020-05-27 22:50:05

梁玉红

　　也可以直接用雪尔佛斯特公式计算吧

2020-05-27 22:54:01

陶海军

　　雪尔佛斯特公式我是没听过，但是判断秩为1是根据两个矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵秩的最小值，又因为得到的矩阵非零，向量矩阵的秩都是1，所以矩阵乘积的秩为1

2020-05-27 22:58:38