【已知圆C的方程x的平方加y的平方等于4,过点M(2,4)作-查字典问答网

来自戴维的问题

　　【已知圆C的方程x的平方加y的平方等于4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T：x的平方比a的平方加y的平方比b的平方(a>b>0)的右顶点和上顶点.求椭圆T的方程；是否存在】

　　已知圆C的方程x的平方加y的平方等于4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T：x的平方比a的平方加y的平方比b的平方(a>b>0)的右顶点和上顶点.

　　求椭圆T的方程；是否存在斜率为二分之一的直线l与曲线C交于P,Q两不同点,使得向量OP乘向量OQ等于五分之二（O为坐标原点）,若存在,求出直线l的方程,否则,说明理由

1回答

2020-05-29 18:46

我要回答

请先登录

耿媚

　　圆C：x²+y²=4

　　椭圆T：x²/a²+y²/b²=1右顶点(a,0),上顶点(0,b)

　　设切线为y=k(x-2)+4=kx-2k+4

　　(4-2k)²/(1+k²)=4

　　k=3/4,k=0

　　其中一条切线为x=2,切点(2,0)

　　另外一条切线为y=3x/4+5/2,切点(-6/5,8/5)

　　直线AB：y=(-1/2)(x-2)即x+2y-2=0

　　所以a=2,b=1

　　椭圆T：x²/4+y²=1

　　设直线l:y=x/2+b

　　带入圆中得

　　5x²+4bx+4b²-16=0

　　直线与圆的交点P(x0,y0),Q(x1,y1)

　　x0+x1=-4b/5x0x1=(4b²-16)/5

　　OPOQ=x0x1+y0y1=x0x1+(x0/2+b)(x1/2+b)

　　=5x0x1/4+b²+b(x0+x1)/2

　　=b²-4+b²-2b²/5=8b²/5-4=2/5

　　b=±√11/4

　　直线l：y=x/2±√11/4

2020-05-29 18:51:25