1.已知D是等边三角形ABC的BC边上的一点,把三角形折叠,折痕为MN,使A落在D处.若BD:DC=m:n,则AM:AN=(2m+n)/(m+2n)

　　思路：翻折,那么AM＝MD,AN＝ND.

　　假设BM＝x,那么DM＝m+n-x,解三角形,求出x=(n^2+2mn)/(m+2n),从而AM=(m^2+n^2+mn)/(m+2n)

　　假设CN＝y,那么DN＝m+n-y,解三角形,求出y=(m^2+2mn)/(2m+n),从而AN=(m^2+n^2+mn)/(2m+n)

　　2.等腰三角形的底边长为√2,两腰上的中线互相垂直,则这个三角形的面积为3/2

　　思路：作图,设顶角为A,底边是BC,中线分别是BM、CN,相交于O.

　　AM＝CM,所以△AMB是△ABC面积的一半；AN＝BN,所以△NMB是△AMB面积的一般,即△ABC面积的1/4.三角形相似,MN＝BC/2,再分别求出BO＝1,NO＝MO＝1/2,BM＝3/2,从而△NMB面积是3/8

　　4.已知：AB是等腰直角三角形ABC的斜边,M在AC上,N在BC上,沿直线MN将△MCN翻折,使点C落在边AB上,设其落点为P．

　　（1）当点P是边AB的中点时,求证：AP：BP＝CM：CN．

　　思路：同第一题

　　假设AM＝x,那么MP＝1－x,AP＝√2/2,角A是45度.解这个三角形,得x＝1/2,即AM＝MP＝MC＝1/2

　　同理可解得BN＝NP＝NC＝1/2,那么AP：BP＝CM：CN＝1

　　（2）当点P不是边AB的中点时,AP：BP＝CM：CN还成立吗?

　　成立.

　　思路：假设AP＝m,那么BP＝√2－m

　　设AM＝x,那么PM＝1－x,解三角形,得x＝(m^2-1)/(√2m-2),那么CM＝1－AM＝(-m^2+√2m-1)/(√2m-2)

　　同理,设BN＝y,可解得y＝(m^2-2√2m+1)/(-√2m),CN＝(-m^2+√2m-1)/(-√2m)

　　那么AP：BP＝m/(√2－m),CM：CN＝(-√2m)/(√2m-2)＝m/(√2－m)